Riemann 積分
區閒の點附き分割を構成する→Riemann 和を構成する→收束構造を定める→Riemann 積分を定める 收束構造を定める
Jordan 測度を定める
分割 (partition)
閉區閒$ [a,b] について、有限列$ x_0,x_1,\dots,x_nであり、$ a=x_0<x_1<\dots<x_n=bであるものを分割と言ふ
$ \max\{x_{i+1}-x_i|0\le i< n\}を、分割の大きさ (mesh。norm) と言ふ
點附き分割 (tagged partition)
$ x_0,x_1,\dots,x_n を閉區間$ [a,b] の分割とする。點附き分割$ P,$ P(x,t),$ (x,t)とは、組$ ((x_0,x_1\dots,x_n),(t_0,t_1,\dots,t_{n-1}))であって、$ x_i\le t_i\le x_{i+1}となるものを言ふ
$ P(x,t),$ Q(x,s),$ R(y,u)等と記號を使ふ
細分 (refinement)
或る區閒の分割$ P,$ Qについて、$ Qが$ Pの細分であるとは、$ P\subseteq Qである事を言ふ
或る區閒の點附き分割$ P(x,t),$ Q(y,s)について、$ Qが$ Pの細分であるとは、各$ x_iに對して$ x_i=y_{r(i)}となる整數$ r(i)が存在し (卽ち分割$ Q(y)は分割$ P(x)の細分であり)、$ r(i)\le j<r(i+1)なる適當な整數$ jに對して$ t_i=s_jとできる事を言ふ
Riemann 和
閉區閒$ I上で定義された函數$ f:I\to\Rについて、$ Iの點附き分割$ (x,t)に關する Riemann 和とは、$ \sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)を言ふ
Jordan 容積 (Jordan content。Jordan 測度 (Jordan measure))
超直方體の容積
(半開)超直方體$ C:=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\dots\times[a_n,b_n)
容積$ \mu(C):=\prod_{i=1}^n(n_i-a_i)
基本集合 (simple set。矩形塊 (polyrectangle)) の容積
基本集合$ S:=C_1\cup C_2\cup\dots\cup C_n
基本集合は超直方體の非交和で書ける。非交和で書いた時の容積の和を基本集合の容積と定める
Jordan 內容積$ \mu_*(B):=\sup_{S\subset B}\mu(S)
Jordan 外容積$ \mu^*(B):=\inf_{S\subset B}\mu(S)
Jordan 內容積と Jordan 外容積が一致するならば、これを Jordan 容積と呼ぶ
$ f:[a,b]\to\R について議論する
任意の$ \varepsilon>0に對して、大きさが$ \deltaより小さい任意の點附き分割$ (x,t)について$ \left|\sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)-s\right|<\varepsilonとなる$ \delta>0を選べるならば、$ \int_a^b f(x){\rm d}x:=sを Riemann 積分と言ふ 細分による定義
任意の$ \varepsilon>0に對して、點附き分割$ (x,t)が存在してその任意の細分$ (y,u)について$ \left|\sum_{i=0}^{n-1}f(u_i)(y_{i+1}-y_i)-s\right|<\varepsilonとできるならば、$ \int_a^b f(x){\rm d}x:=sを Riemann 積分と言ふ Jordan 容積による定義
Darboux 積分
Riemann-Stieltjes 積分
$ \lim_{b\to c}\int_a^b f(x){\rm d}x
$ \int_0^\infty f(x){\rm d}x:=\lim_{b\to\infty}\int_0^b f(x){\rm d}x等を定義できる